1. 基本概念
1.1 概念
随机现象：在个别实验中呈现不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。
随机实验具有以下特点：
- 可以在相同的条件下重复进行
- 每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
- 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合称为$E$的样本空间，记为$S$。其中每个结果都称为样本点。
随机事件：试验E的样本空间$S$的子集称为E的随机事件，简称事件。
事件发生：当且仅当样本空间$S$的子集中的一个样本点出现时，称为这一随机事件发生。
基本事件： 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
事件的关系：设试验$E$的样本空间为$S$，而$A，B，A_k(k=1,2,…)$ 是 $S$的子集，则：
- 若$A \subset B$，则事件B包含事件A，既事件A发生必然导致事件B发生；若$A \subset B$且$B \subset A$，既$A = B$，则事件A与事件B相等；
- 事件\(A \bigcup B= \{ x\vert x \in A 或 x \in B\}\)，称为事件A与事件B的和事件；\(\bigcup_{k=1}^n A_k\) 表示为n个事件\(A_1, A_2, ... , A_n\)的和事件；
- 事件\(A \bigcap B= \{ x\vert x \in A 且 x \in B\}\)，称为事件A与事件B的积事件，也记做$AB$。当前仅当A，B同时发生时，事件$A\bigcap B$发生
- 事件\(A-B=\{ x\vert x \in A 且 x \notin B\}\)，称为事件A与事件B的差事件，当前仅当A发生，B不发生时，事件$A-B$发生
- 若\(A \bigcap B = \emptyset\)，则事件A与B是互不相容的，或互斥的
- 若\(A \bigcup B = S 且 A \bigcap B = \emptyset\)，则成事件A与B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件。事件A的对立事件记为$\overline A= S - A$
频率与频数：在相同条件下，进行了n次试验，事件$A$发生的次数$n_A$称为事件A发生的频数，比值$n_A/n$称为事件$A$发生的频率，并记为$f_n(A)$
概率：设$E$是随机试验，$S$是它的样本空间。对于$E$的每一事件A赋予一个时数，记为$P(A)$，则成为事件$A$的概率。如果函数$P$满足下列条件：
- 非负性： 对于每一个事件$A$，有\(P(A)\geq 0\);
- 规范性：对于必然事件S，有$P(S) = 1$;
- 可列可加性：设$A_1, A_2, …$是两两不相容的事件，即对于\(A_iA_j = \emptyset, i \neq j, i,j = 1,2,...\)，有： \(P(A_1 \bigcup A_2 \bigcup …)=P(A_1)\ + P(A_2) + ... \tag {1.1}\)
样本空间的划分：设$S$为试验$E$的一个样本空间，$B_1, B_2, … , B_n$为E的一组事件。若:
(i) $B_iB_j=\emptyset, i \neq j, i,j=1,2,…,n$；
(ii) $B_1 \bigcup B_2 \bigcup … \bigcup B_n = S$。
则称$B_1, B_2, … , B_n$为样本空间S的一个划分。
全概率公式：设$S$为试验$E$的一个样本空间，$A$为$E$的事件，$B_1, B_2, … , B_n$为$S$的一个划分，且$P(B_i) > 0(i = 1,2,…,n)$，则：
\(P(A)=P(A\vert B_1)P(B_1)+P(A\vert B_2)P(B_2)+...+P(A\vert B_n)P(B_n)\)
贝叶斯公式：设$S$为试验$E$的一个样本空间，$A$为$E$的事件，$B_1, B_2, … , B_n$为$S$的一个划分，且$P(A)>0, P(B_i) > 0(i = 1,2,…,n)$，则：
\(P(B_i \vert A)=\frac{P(A\vert B_i)P(B_i)}{\sum_{j=1}^nP(A\vert B_j)P(B_j)}, i=1,2,...,n.\)
独立事件：设$A,B$是两个事件，如果满足等式：$P(AB)=P(A)P(B)$，则称事件$A,B$相互独立，简称$A,B$独立。
随机变量：设随机试验的样本空间为$S={e}，X=X(e)$ 是定义在样本空间$S$上的实值单值函数，则称$X=X(e)$ 为随机变量。随机变量实际上是样本空间的一个样本$e$到实数集的映射。
分布律：设离散型随机变量X的所有可能取值为$x_k,(k=1,2,…)，X$取各个可能值的概率，即事件 ${X=x_k}$ 的概率，为：$P{X=x_k}=p_k, k=1,2,…$，该式满足以下条件：
- $p_k\geq 0, k=1,2,…$
- $\sum_1^\infty p_k=1$
分布函数：设$X$是一个随机变量，$x$是任意实数，函数$F(x)=P{X\leq x}, -\infty < x < +\infty$称为$X$的分布函数。 $F(x)$ 具有以下的性质：
- $F(x)$ 是一个不减函数
- $0 \leq F(x) \leq1$，且\(F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty}F(x) = 0, F(+\infty) = \lim_{x \to +\infty}F(x) = 1\)
- $F(x+0) = F(x)$，即 $F(x)$ 是左极右连续
概率密度函数：如果对随机变量$X$的分布函数 $F(x)$ ，存在非负可积函数$f(x)$，使得对于任意实数$x$有$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\,{\rm d}t$，则称$X$为连续型随机变量，$f(x)$ 称为$X$的概率密度函数，简称概率密度。
1.2 例子
例1.2.1
试验E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 样本空间：${HHH, HHT, HTT, … , TTT}$ 随机事件：将一枚硬币抛掷三次，其中两次为正面，一次为反面。 基本事件：将一枚硬币抛掷三次，第一次为正面，第二次为正面，第三次为反面。
